El piloto del control: λφ⁴ con q = 120

Primera simulación del proyecto: qué se corrió, qué salió, cómo se compara con Dufaux et al. (2007) y qué implica para las corridas con campos de gauge.

¿No sos de física? La bitácora explica el proyecto desde cero (sección 3.1 para esta corrida). Todos los números y figuras de esta página salen del notebook code/analisis_corridas.py y están registrados en provenance/.

1. Resumen y conclusiones

Antes de agregar campos de gauge hacía falta comprobar que sabemos simular el caso sin gauge y que el resultado coincide con lo publicado. Esta corrida lo confirma. El campo que recibe la energía crece donde y a la velocidad que dice la teoría. Las ondas gravitacionales se producen cuando lo dice la teoría. Y el espectro final coincide con el de Dufaux y colaboradores dentro de lo que se puede pedir. También aparecieron dos cosas que hay que tener en cuenta en las corridas siguientes: la amplitud real del inflatón y la resolución de la red.
  1. El control está validado.
    • Pico de h²Ω_GW hoy: 3,8×10⁻¹¹ a 9,7×10⁷ Hz. Dufaux da ∼3×10⁻¹¹ a ∼1,2×10⁸ Hz, ya llevado a nuestro λ.
    • Cola infrarroja: ∝ f0,96, contra ∝ f en Dufaux.
    • Etapas en el tiempo: la resonancia termina en x ≈ 95 (Dufaux: 90) y el espectro alcanza su nivel alto en x ≈ 150 (igual que en Dufaux).
  2. La teoría de Floquet funciona al 0,4 %, siempre que se use la amplitud real del inflatón. Durante el primer instante, cuando la expansión todavía no se comporta como radiación, el inflatón gana energía conforme: su amplitud conforme pasa de 1 a A = 1,138. Con esa amplitud, Floquet da μ_max = 0,199 en k ≈ 1,42 y se mide 0,200. Con amplitud 1 daría 0,175, un 14 % de diferencia que parecía un error y no lo es.
  3. Las GWs siguen a los gradientes.
    • Durante la resonancia ρ_GW crece como e4μτ: se mide 0,76, contra 4μ = 0,80.
    • La producción deja de ser exponencial cuando la energía de gradiente llega al 1 % del total (τ ≈ 84). La estimación a mano del fin de la resonancia da τ ≈ 77.
    • La mitad de las GWs finales ya está hecha en τ ≈ 130. El resto sale de la fase turbulenta, sobre todo a escalas cada vez más chicas.
  4. N = 128 no alcanza para el ultravioleta. La red llega hasta K ≈ 24 (en unidades de la amplitud conforme). El espectro de Dufaux recién cae en K ≈ 50. La parte UV del espectro (y el 22 % que el pico sigue creciendo al final) depende de la resolución. El pico, la cola IR y los tiempos no dependen de ella.

2. Qué se corrió

El modelo lphi4 de CosmoLattice 2.0, V = λφ⁴/4 + g²φ²χ²/2, con los parámetros acordados en Parámetros comparables, salvo el tamaño de la red:

parámetrovalorcomentario
λ, q = g²/λ9×10⁻¹⁴, 120q = 120 es el caso de referencia de Dufaux et al.
φ inicial, φ̇ inicial5,6964×10¹⁸ GeV, −4,86735×10³⁰ GeV²fin de la inflación (ε = 1)
N, kIR128, 0,25la corrida final prevista es N = 256 con la misma kIR (misma caja)
kCutOff, dt, tMax4, 0,01, 300unidades de programa (ω★ = √λ f★)
GWs, semillasí (proyector 1), 1234semilla fija: la corrida se puede repetir exacta

Duró 1 h 17 min usando los 8 núcleos de la máquina (el build usa OpenMP; 795 % de CPU) y usó 318 MB de memoria. Archivo de entrada: code/lphi4_piloto_N128.in; salidas: data/lphi4_piloto_N128/.

Unidades. Todo está en unidades de programa: los campos en unidades de f★ (el φ inicial), el tiempo τ es el tiempo conforme por ω★ = √λ f★, y k es el número de onda comóvil en unidades de ω★. Como en este modelo el código usa tiempo conforme (α = 1), la variable natural es el campo conforme a·χ.

3. ¿Es confiable la simulación?

Factor de escala, a', ecuación de estado y error de Friedmann
Factor de escala, su derivada, ecuación de estado w y error relativo del vínculo de Friedmann.
Reparto de la energía entre términos y rho a^4
Izquierda: fracción de la energía en cada término, promediada sobre una oscilación. Derecha: ρa⁴, constante después del transitorio.

El reparto de la energía muestra las tres etapas del precalentamiento:

4. La resonancia: teoría de Floquet contra simulación

Mientras χ es chico, cada modo del campo conforme X_k = a·χ_k obedece la ecuación de Lamé (Greene et al. 1997; Dufaux et al. 2007, ec. 68):

\[ X_k'' + \left[\kappa^2 + q\,A^2\,\mathrm{cn}^2(A\tau;\,1/\sqrt2)\right] X_k = 0 , \]

donde A es la amplitud conforme del inflatón. Las soluciones crecen como eμ_k τ. El exponente de Floquet μ_k se calcula numéricamente en el notebook. Si se cambia A, se reescalan a la vez el tiempo y el momento: μ_A(κ) = A·μ₁(κ/A).

El hallazgo. Suponiendo A = 1 (el valor de partida), Floquet predice μ_max = 0,175. En la simulación el modo más rápido crece con μ = 0,200, un 14 % más rápido. La explicación es el transitorio de la sección 3. Después de él, la energía conforme del inflatón es ρa⁴ = A⁴/4 = 0,418, o sea A = 1,138. Con esa amplitud:

Floquet, A = 1Floquet, A = 1,138simulación (τ entre 20 y 55)
μ máximo0,1750,1990,200
dónde (k)1,241,421,25–1,5 (bins de 0,25)
borde superior de la banda≈ 1,8≈ 2,05entre 2,0 y 2,25
Exponente de crecimiento por modo, teoría contra simulación
Exponente de crecimiento de cada modo de χ, medido como la pendiente de ½ ln(a²Δ_χ) entre τ = 20 y 55 (puntos), contra Floquet con amplitud 1 (punteado) y con la amplitud medida (línea). La curva reescalada reproduce el pico, el borde de la banda y hasta la segunda banda angosta en k ≈ 3,8.

Hay dos desvíos:

Inflatón conforme y crecimiento de las fluctuaciones
Izquierda: el inflatón conforme a·⟨φ⟩ oscila con amplitud ≈ 1,14 hasta τ ≈ 80 y después pierde amplitud porque le cede energía a χ. Derecha: dispersión conforme de χ y de δφ. δφ arranca más tarde y crece más rápido, porque lo genera χ².
Espectros de potencia de phi y chi en el tiempo
Espectros de potencia conformes a²Δ(k) de δφ y χ, de claro (temprano) a oscuro (tarde). En χ, la franja gris es la banda de Floquet con la amplitud medida. El pico nace ahí y después el espectro se ensancha hacia k grandes.

5. Las ondas gravitacionales: cuándo y dónde se producen

La fuente de las GWs es la parte transversa y sin traza de ∂_iφ∂_jφ + ∂_iχ∂_jχ: sin gradientes no hay ondas. Por eso la pregunta "¿cuándo se producen las GWs?" equivale a "¿cuándo se vuelven importantes los gradientes?".

Crecimiento de chi, gradientes y GWs normalizados
(a·rms χ)², fracción de energía en gradientes y ρ_GW/ρ, cada una dividida por su máximo. Las líneas verticales marcan los momentos de la tabla.
momentoτx = Aτdefinición
inicio de la resonancia≈ 8≈ 9el modo del centro de la banda crece ×10
fin de la resonancia, estimado≈ 77≈ 87(1/2μ) ln[1/(q⟨X²⟩_banda)], con el ruido inicial en la banda
gradientes > 1 % de la energía8495medido
50 % de las GWs finales130148medido
90 % de las GWs finales203231medido
Mapa del espectro de GWs en tiempo y escala
dΩ_GW/d ln k en el plano (τ, k). Los puntos marcan cuándo cada escala alcanzó la mitad de su valor final: las escalas cercanas al pico se llenan en τ ≈ 120–130 y las más chicas bastante después (cascada hacia el UV). Línea punteada vertical: gradientes > 1 %.

Propagación y horizonte. El horizonte comóvil k_H = a′/a vale 0,83 en τ = 0 y cae por debajo del modo más largo de la caja (kIR = 0,25) antes de τ ≈ 3. Toda la producción ocurre en modos que están muy adentro del horizonte, es decir, en ondas que se propagan libremente.

6. Comparación con Dufaux et al. (2007)

Dufaux, Bergman, Felder, Kofman y Uzan (arXiv:0707.0875, §VI.B) simularon este mismo modelo con q = 120, pero con λ = 10⁻¹⁴, en una red de 256³ y hasta x = 240. Para comparar hay que traducir tres cosas:

Comparación con las figuras 4, 5 y 6 de Dufaux et al.
Izquierda: el espectro acumulado de x = 90 a 240 cada 10, como la fig. 6 de Dufaux (línea naranja: su máximo; zona gris: momentos que esta red no tiene). Centro: el espectro hoy con su convención; el cuadrado es su pico y el rombo el mismo pico llevado a nuestro λ. Derecha: ρ_GW/ρ contra x, como su fig. 5.
quéeste pilotoDufaux et al.veredicto
pico hoy3,8×10⁻¹¹ en 9,7×10⁷ Hz∼3×10⁻¹¹ en ∼7×10⁷ Hz
(→ 1,2×10⁸ Hz con λ = 9×10⁻¹⁴)		coincide: 25 % en amplitud, 20 % en frecuencia, con un espectro muy plano cerca del pico
cola IR al final∝ f0,96∝ fcoincide
fin de la resonanciax ≈ 95 (gradientes 1 %)x ≃ 90coincide; lo esperado es que el nuestro termine ~6 antes por el λ mayor, dentro de la imprecisión de ambas definiciones
(Ω_gw)_p en el pico, x ≈ 906,8×10⁻⁹∼10⁻⁹compatible: en ese momento crece ×2 por unidad de x, y el nuestro va unas unidades de x adelantado
(Ω_gw)_p en el pico, x ≈ 1502,8×10⁻⁶∼5×10⁻⁶mismo orden (factor 1,8)
(Ω_gw)_p en el pico, al final4,1×10⁻⁶ (x = 336)el pico no cambia después de x ∼ 150difiere: el nuestro crece 22 % entre x ≈ 170 y el final, y el pico se corre de K ≈ 2 a K ≈ 3
ρ_GW en x = 15052 % del final"aumenta levemente" despuésel nuestro sigue creciendo más; ver la fila anterior
K máximo de la red24el espectro cae en K ≈ 50a N = 128 falta resolución UV

Lectura. Todo lo que depende de la física de la resonancia coincide: la amplitud y la frecuencia del pico, la cola IR, los tiempos y la tasa de crecimiento. Lo único que no coincide es lo que pasa en el UV al final: el espectro sigue creciendo y el pico se corre. Nuestra red corta en K ≈ 24, cuando el espectro de Dufaux recién cae en K ≈ 50. Con ese corte, la cascada hacia el UV se acumula en los últimos modos de la red en lugar de seguir de largo. Es el comportamiento típico de una red sin resolución suficiente, y se confirma o descarta con N = 256.

7. Qué implica para el resto del proyecto

  1. El control sirve como referencia. El resultado reproduce la literatura, así que cualquier diferencia que aparezca en lphi4U1 y lphi4SU2U1 se puede atribuir al modelo y no a cómo corremos el código.
  2. Medir A en cada modelo. El emparejamiento de los modelos gauge supone que el inflatón arranca en el mismo estado. Si es así, el transitorio y A = 1,138 deberían salir iguales en los tres. Hay que medirlo en cada corrida: si A difiere, las bandas se corren y los μ cambian, y la comparación deja de ser justa. El notebook ya calcula A para cualquier corrida.
  3. Las bandas de referencia son las reescaladas. Para el chequeo de SU(2)×U(1) (en qué k crecen los campos gauge), hay que comparar con Floquet reescalado por A: κ★ ≈ 1,42 y no 1,24. Si la hipótesis q_eff = q_A + q_B es correcta, los campos gauge deberían crecer en k ≈ 1,42·√2 en las unidades de esos modelos. Esa traducción hay que rehacerla con A antes de la corrida.
  4. Resolución: N = 128 alcanza para el pico, no para el UV.
  5. Duración. El 90 % de las GWs está hecho en τ ≈ 200, así que tMax = 300 (y su traducción para los modelos gauge, tMax ≈ 212 en sus unidades) alcanza para el pico. Una corrida N = 256 tardaría del orden de 8 veces más (≈ 10 h para lphi4, con los mismos 8 núcleos, que ya se usan todos). Acelerarla requiere más núcleos, por ejemplo con MPI en otra máquina.
  6. Frecuencia hoy ≈ 10⁸ Hz. Como ya se sabía para este modelo, la señal está muy por encima de las bandas de LIGO y LISA. Para el proyecto importa la comparación entre modelos, no la detectabilidad.

8. Qué queda abierto