Parámetros comparables para los tres modelos

Qué valores usan los autores, por qué, qué dicen las observaciones, y cómo elegir los parámetros para que lphi4, lphi4U1 y lphi4SU2U1 se comparen de igual a igual.

¿No sos de física? La bitácora explica el proyecto desde cero. Las cuentas de esta página están en code/analisis_parametros.py, y cada número está registrado en provenance/.

1. Resumen

Para comparar tres simulaciones y poder decir "esta diferencia la causa el campo de gauge", las tres tienen que arrancar igual y recibir el mismo "empujón". Si una arranca con más energía o con un empujón más fuerte, cualquier diferencia en las ondas gravitacionales podría venir de eso y no del campo de gauge. Esta página busca los valores que hacen que los tres modelos sean lo más parecidos posible en todo, salvo en el tipo de campo que recibe la energía.

λ = 9×10⁻¹⁴ en los tres modelos. El λφ⁴ puro está descartado por las observaciones, pero dentro de la simulación λ casi no importa: sólo fija la escala absoluta (la frecuencia de las ondas hoy) y el tamaño del ruido inicial. Lo importante es que sea el mismo en los tres.
q = 120 en lugar de 300. Con q = 300 (el valor por defecto) la resonancia es débil y angosta. q = 120 es el caso de referencia de Dufaux et al. (2007), que ya calcularon el espectro de ondas gravitacionales de este mismo modelo de control. Eso permite validar nuestra corrida contra la literatura antes de agregar campos de gauge.
Un único canal resonante con el mismo q en cada modelo. En el control la energía va a un campo escalar hijo, en U(1) a un campo de gauge y en SU(2)×U(1) a dos campos de gauge que resuenan juntos. Por eso en SU(2)×U(1) cada sector lleva la mitad (q_A = q_B = 60): la suma es la que tiene que dar 120.
La red de los modelos gauge es la del control traducida por √2, porque el código usa una unidad de tiempo distinta en esos modelos.

La tabla final tiene todos los valores.

2. Qué controla cada parámetro

Parámetro	Qué es, en palabras simples	Qué cambia en el espectro de GWs
\(\lambda\) (`lambda`)	Qué tan "empinado" es el potencial del inflatón. Fija la escala de energía de todo el proceso.	Casi sólo la frecuencia de las ondas hoy (\(f\propto\lambda^{1/4}\)). La forma del espectro no cambia (ver §4).
\(q\) (`q`, `qG`, y el \(q_A,q_B\) que sale de `gU1s`, `gSU2s`)	Qué tan fuerte "empuja" el inflatón al campo hijo en cada oscilación: el acoplamiento medido en las unidades naturales del problema, \(q=g^2/\lambda\).	Dónde queda el pico (\(k_\sim q^{1/4}\sqrt\lambda\,\varphi_\)) y qué tan rápido se forma. Es el parámetro que más importa.
Amplitud y velocidad iniciales del inflatón	Dónde y a qué velocidad está el inflatón cuando termina la inflación.	La energía total disponible. Tiene que ser la misma en los tres modelos.
`N`, `kIR`	Cuántos puntos tiene la grilla por lado, y el tamaño de la caja (`kIR` = 2π/tamaño).	Qué rango de frecuencias se ve. La caja tiene que ser más grande que la escala del pico, y los puntos tienen que alcanzar para lo que se genera después, a escalas más chicas.
`dt`, `tMax`	El paso de tiempo y cuánto dura la simulación.	Hay que llegar a la etapa en que el espectro deja de cambiar.
`kCutOff`	Hasta qué escala se siembra el "ruido" cuántico inicial.	Poco, siempre que cubra la banda de resonancia.

3. Qué usan los autores, modelo por modelo

Todo lo que sigue sale de los papers de bibliografía/ y de los .in que trae CosmoLattice. En la columna "por qué" puse lo que dicen los propios autores. Cuando no lo dicen, lo aclaro.

3.1. `lphi4`: el control (λφ⁴ + un hijo escalar)

Fuente	λ	q	Estado inicial	Red	Por qué eligieron eso
Dufaux et al. 2007 0707.0875, §VI	10⁻¹⁴	1.2, 120, 128, 1130 (principal: 120)	φ₀ ≈ 0.342 M_Pl	256³, hasta x = 240	λ, "de la normalización de las anisotropías del CMB". q ≫ 1 porque λ es muy chico, así que la resonancia es ancha. q = 128 = 2·8² es un caso especial en el que el pico se corre a k → 0. Es el cálculo de referencia de GWs para este modelo: para q = 120 obtienen h²Ω_GW ~ 3×10⁻¹¹ a f ~ 7×10⁷ Hz, y encuentran que el pico depende poco de q.
Manual v1 2102.01031, §4.3	9×10⁻¹⁴	100	7.42675e18 GeV −6.2969e30 GeV²	N = 32, kIR = 0.75, dt = 0.01, tMax = 300	Es el ejemplo pedagógico del manual. Justifican f_, ω_ y α (amplitud y frecuencia al final de la inflación), pero no los valores de q ni de la red. N = 32 es para que corra rápido.
CosmoLattice 2.0 `lphi4.in`	9×10⁻¹⁴	300	5.6964e18 GeV −4.86735e30 GeV²	N = 64, kIR = 0.7, dt = 0.01, tMax = 10, sin GWs	No está documentado. El paper de la v2.0 usa `lphi4` sólo como prueba de rendimiento. Encontré de dónde sale el estado inicial: es exactamente el final de la inflación (ε_H = 1) para λ = 9×10⁻¹⁴ (ver §4). tMax = 10 no llega ni al final de la resonancia.
Zhou et al. 2026 2605.04670 (otro modelo, mismo inflatón)	10⁻¹³	q_φh = 100 (viable: 10–10⁴)	—	N = 256, kIR = 0.75, dt = 0.01, kCutOff = 4	Usan CosmoLattice para GWs. Fijan λ y varían q. Eligen la red "para que las escalas físicas queden lejos de los cortes IR y UV", y verifican que el resultado no cambia al subir N ni al achicar kIR.

3.2. `lphi4U1`: el inflatón con carga U(1)

Fuente	λ	q_A	Estado inicial	Red	Por qué eligieron eso
Art I, §8.2, tabla 1 2006.15122	Λ⁴ = 4.3×10⁶⁵ GeV⁴, M = 10 m_p (λ_ef ≈ 1.2×10⁻¹²)	100	fin de slow-roll, φ_* (ec. 459)	N = 128, kIR = 0.6, dt = 0.01	El potencial es un α-attractor que, cerca del mínimo, es λφ⁴. M = 10 m_p "garantiza que la inflación termina en la región de curvatura positiva". q_A "para tener resonancia paramétrica ancha". N y kIR "para resolver el crecimiento IR y la propagación posterior al UV". El retroefecto llega en η ≈ 40. No calculan GWs.
CosmoLattice 2.0 `lphi4U1.in`	9×10⁻¹⁴	≈ 1370 (gU1s = 1.11037e−5)	\|φ_*\| = 5.6964e18	N = 64, kIR = 0.6, dt = 0.01, kCutOff = 3, tMax = 10	No está documentado. Como ya vimos en la página teórica, arranca con 4 veces la energía del control.
Dufaux, Figueroa & García-Bellido 2010 1006.0217 (otro modelo: inflación híbrida)	Modelo de Higgs abeliano con transición taquiónica, no resonancia paramétrica. Sus parámetros no se trasladan directamente a los nuestros.				Es el precedente más cercano de GWs con un campo U(1) en el recalentamiento. Encuentran que el campo de gauge deja picos nuevos en el espectro, a frecuencias ligadas a las masas del problema, y asociados a cuerdas cósmicas. Es lo que conviene buscar en nuestros espectros.

3.3. `lphi4SU2U1`: el inflatón con carga SU(2)×U(1)

Fuente	λ	q de cada canal	Estado inicial	Red	Por qué eligieron eso
Art I, §8.3, tabla 1	Λ⁴ = 4.3×10⁶⁵ GeV⁴, M = 10 m_p	q_A = q_B = q_* = 100 (hijo χ también con q_*)	fin de slow-roll	N = 128, kIR = 0.6, dt = 0.01	"Fijamos q_A = q_B = q_* con fines ilustrativos, con q_* > 1 para tener resonancia ancha en todos los sectores". Los mismos autores advierten que, con los dos campos gauge, estos resuenan juntos con q_ef = q_A + q_B (ver §6).
Manual v1 y CosmoLattice 2.0 `lphi4SU2U1.in`	9×10⁻¹⁴	q_A = q_B ≈ 1370 qG = qH = 50	\|Φ_*\| = 5.25151e18	N = 128, kIR = 0.75, kCutOff = 6, dt = 0.01, tMax = 10	El Manual explica el potencial (ec. 90), pero no los valores. Algo que encontré: ese \|Φ_\| × √2 es exactamente* el inflatón de `lphi4.in` del Manual v1. Este modelo estaba emparejado con el control de la v1, que arrancaba antes del final de la inflación (ε_H = 0.67), no con el de la v2.0. gSU2s = 2·gU1s hace q_A = q_B, como en el Art I.
Tranberg et al. 2017 1706.02365 (otro modelo: transición taquiónica)	Valores del Modelo Estándar: λ = 0.13 y g = 0.65. También λ = 0.001 y 0.01, para separar la escala del Higgs de la del W.		—		Para comparar U(1) con SU(2) igualan las masas a nivel árbol: el mismo criterio de "un solo cambio por vez" que usamos acá. Encuentran dos picos (masas del Higgs y del W). Los campos no abelianos reducen la producción de GWs, los abelianos la aumentan, y los campos gauge suprimen el espectro en el IR.

Adshead, Giblin & Weiner (2018) y García-Bellido et al. (2007, 2008) estudian acoplamientos distintos (dilatónico o axial) o inflación híbrida. Sirven como contexto, pero no aportan valores trasladables a estos tres modelos.

4. λ: qué dicen las observaciones

La inflación dejó una huella medible en el fondo cósmico de microondas: el tamaño de las fluctuaciones (A_s), cómo cambian con la escala (n_s) y cuántas ondas gravitacionales primordiales hay (r). Un modelo de inflación tiene que reproducir las tres. λ se ajusta con la primera. Las otras dos dicen si el modelo sobrevive o no.

Modelo de inflación	e-folds N	λ (o λ efectiva cerca del mínimo)	n_s	r	¿Permitido?
λφ⁴ puro	50 / 55 / 60	2.34e−13 / 1.77e−13 / 1.37e−13	0.941 / 0.946 / 0.951	0.31 / 0.29 / 0.26	No. Planck mide n_s = 0.9649 ± 0.0042, y BICEP/Keck exige r < 0.036.
α-attractor, p = 4, M = 5 m_p	60	2.83e−12	0.966	0.013	Sí
α-attractor, p = 4, M = 8.5 m_p	60	1.07e−12	0.965	0.034	Justo en el límite
α-attractor, p = 4, M = 10 m_p (Art I)	50 / 60	1.19e−12 / 8.07e−13	0.957 / 0.964	0.062 / 0.045	Hoy no: r > 0.036. El Art II ya lo señala (M ≲ 8.5 m_p).

Cálculo en slow-roll con A_s = 2.1×10⁻⁹ (lphi4_puro, t_model). Como validación, reproduce el Λ⁴ del Art II (p = 2, M = 5 m_p, N = 60) con un 15 % de diferencia (8.5 contra 9.84 ×10⁻¹⁰ m_p⁴), y el de la tabla 1 del Art I para p = 4, M = 10 m_p con N = 50 (4.2 contra 4.3 ×10⁶⁵ GeV⁴). La diferencia viene de cómo se cuentan los e-folds y del valor de A_s.

¿Importa qué λ se elija?

Mucho menos de lo que parece. En variables de programa el potencial queda \(\widetilde V=\tilde\varphi^4/4+\tfrac q2\tilde\varphi^2\tilde\chi^2\): λ desaparece de las ecuaciones (ver la página teórica). Queda sólo en dos lugares:

El tamaño del ruido inicial, proporcional a \(\omega_*/f_*=\sqrt\lambda\). Pasar de 9×10⁻¹⁴ a 10⁻¹² multiplica el ruido por 3.3. Eso adelanta el final de la resonancia en \(\ln 3.3/\mu\approx 7\) unidades de tiempo sobre ~300: casi nada.
La frecuencia de las ondas hoy, que escala como \(\lambda^{1/4}\) (Dufaux et al., ec. 72). El mismo cambio la sube un factor 1.8. El eje se corre, pero la forma queda igual.

Además, el estado del inflatón al final de la inflación, en unidades de m_p, no depende de λ: integrando el fondo exacto hasta ε_H = 1 da \(\varphi_* = 2.33938\,m_p\) y \(\dot\varphi_* = -2.73636\,\sqrt\lambda\,m_p^2\). Con λ = 9×10⁻¹⁴ eso es 5.6964×10¹⁸ GeV y −4.86735×10³⁰ GeV², los valores de lphi4.in dígito por dígito.

Estrictamente, ningún λ hace viable a λφ⁴ puro. En un completamiento viable, la λ efectiva cerca del mínimo es ~10⁻¹². Para comparar modelos, lo que importa es usar el mismo λ en los tres. Recomiendo λ = 9×10⁻¹⁴: coincide con los .in y con el orden de la literatura (Dufaux 10⁻¹⁴, Zhou 10⁻¹³), y el estado inicial correcto ya está calculado. Una corrida adicional con λ = 10⁻¹² serviría como prueba de robustez. Para eso hay que reescalar sólo la velocidad inicial, por √(10⁻¹²/9×10⁻¹⁴).

5. q: la intensidad de la resonancia

El inflatón oscila y en cada oscilación "empuja" al campo hijo. Algunas ondas del hijo reciben el empujón justo a su ritmo y crecen exponencialmente, como una hamaca bien empujada. Otras no crecen. Cuáles crecen, y qué tan rápido, depende de q. El gráfico de abajo lo muestra para cuatro valores.

En la fase lineal, cada modo del hijo cumple una ecuación de Lamé \(X''+(K^2+q\,\mathrm{cn}^2(x,\tfrac12))X=0\) (Dufaux et al., ec. 68). Su solución crece como \(e^{\mu x}\), donde μ es el exponente de Floquet. Lo calculé para cada q candidato (banda_principal):

Ritmo de crecimiento mu en función del momento K para q = 120, 100, 240 y 300. q = 120 tiene un pico de 0.175 en K = 1.24; q = 100 y q = 240 tienen el máximo en K = 0 (0.227 y 0.234); q = 300 tiene un pico chico de 0.082 en K = 3. — Qué tan rápido crece el campo hijo (μ) en cada escala (K), para cuatro valores de q. Producida por `figura_bandas` en `code/analisis_parametros.py`.

q	De dónde sale	Pico en K_*	μ máximo	Banda (μ > μ_máx/2)	Lectura
120	Dufaux et al. (principal)	1.24	0.175	0.45 – 1.72	Resonancia fuerte, con el pico en una escala bien definida dentro de la caja.
100	Manual v1, Art I	0	0.227	0 – 0.89	Más rápida, pero crece más donde K → 0, a la escala de la caja: el resultado depende de `kIR`.
128	Dufaux et al. (caso especial 2·8²)	0	0.238	0 – 1.13	Igual que 100.
300	`lphi4.in` por defecto	3.00	0.082	2.85 – 3.16	Débil y angosta. Cae justo en el borde de una banda.
1370	`.in` gauge por defecto	0	0.171	0 – 0.99	Crecimiento a la escala de la caja.

Por qué pasa esto: el modo K = 0 es inestable sólo cuando \(n(2n-1)<q<n(2n+1)\), es decir 1–3, 6–10, 15–21, …, 91–105, 120–136, …, 276–300. En el centro de cada banda (q = 2n²) crece con μ = 0.238. Lo verifiqué para n = 1, 7, 8 y 12. q = 120 y q = 300 caen justo en bordes: 120 en el borde inferior de la banda 8, y el pico se corre a K finito con μ alto; 300 en el borde superior de la banda 12, y la resonancia casi se apaga.

q = 120. Tiene tres ventajas. Es el caso de referencia de GWs para este mismo control, así que nuestra corrida de lphi4 se puede validar contra un resultado publicado. Su pico está en una escala finita, así que no depende del tamaño de la caja. Y la resonancia es fuerte. En cambio, q = 300 resuena poco, y q = 100, 128 o 1370 ponen el crecimiento en la escala de la caja.

6. El caso SU(2)×U(1): cómo repartir q entre dos campos gauge

En el Art I (ec. 476) cada campo gauge tiene su propio parámetro de resonancia: \(q_A = g_A^2/\lambda\) y \(q_B = g_B^2/(4\lambda)\). Pero los mismos autores dicen que, cuando el inflatón se acopla a los dos, el término cruzado de la derivada covariante acopla sus ecuaciones y resuenan juntos con \(q_{\rm ef}=q_A+q_B\). Anuncian el detalle para un trabajo posterior, que no está en la bibliografía.

Opción	q_A, q_B	q_ef	Resonancia gauge	¿Comparable con el control (q = 120)?
La del Art I	120, 120	240	K_* = 0, μ = 0.234 (otra banda)	No: el pico cambia de lugar.
Repartida (recomendada)	60, 60	120	K_* = 1.24, μ = 0.175 (igual que el control)	Sí, si vale q_ef = q_A + q_B.

Si la afirmación sobre q_ef no valiera y cada sector resonara por separado con q = 60, el pico estaría en K_* = 1.73 con μ = 0.107. Las dos hipótesis predicen picos distintos, así que la primera corrida de SU(2)×U(1) decide cuál vale: alcanza con mirar en qué K crecen los campos gauge durante la fase lineal.

Por la misma razón, en lphi4SU2U1 recomiendo apagar los hijos escalares (qG = qH = 0). Así el único canal que resuena es el gauge, como en los otros dos modelos. Si se quisiera el diseño del Art I (hijo χ más dos campos gauge), habría que tener en cuenta que el inflatón reparte la energía entre más canales que en el control.

7. La red: tamaño, resolución y duración

Caja (kIR). La banda de q = 120 va de K = 0.45 a 1.72. Con kIR = 0.25 entran varios modos de la red dentro de la banda. Con 0.6–0.75 (Art I, Zhou) entrarían apenas uno o dos.
Puntos (N). Con N = 256 el momento máximo es \(\tfrac{\sqrt3}{2}N\,k_{IR}\approx 55\), unas 45 veces K_*. Es margen de sobra para la cascada hacia escalas chicas después del retroefecto. Es el N de Dufaux y de Zhou.
Duración (tMax). Dufaux et al. llegan a x = 240 y ven que el pico de GWs deja de cambiar después de x ≈ 150. Recomiendo tMax = 300 en lphi4. El tMax = 10 de los .in no alcanza ni para el retroefecto (η ≈ 40 en el Art I).
Paso (dt = 0.01): el de todas las fuentes. Con N = 256 y kIR = 0.25, el espaciado es δx ≈ 0.098, y dt/δx = 0.1 está lejos del límite de estabilidad 1/√3.
La traducción a los modelos gauge. En lphi4U1 y lphi4SU2U1 el código usa \(\omega_*=\sqrt\lambda\,|\Phi_*|\), que con el inflatón emparejado es √2 menor que en lphi4. Para que la caja, la resolución y la duración sean físicamente las mismas: kIR y kCutOff se multiplican por √2, y dt y tMax se dividen por √2. Al comparar espectros, el eje de momentos de los modelos gauge se divide por √2 para llevarlo a las unidades de lphi4.

Costo: N = 256 con 30 000 pasos es una corrida larga en CPU, sobre todo para lphi4SU2U1. Conviene empezar con una corrida piloto con N = 128 y la misma kIR. Se pierde la mitad del rango UV, pero la fase lineal y el pico se ven igual.

8. La tabla: valores comparables para los tres modelos

Cada valor está en las unidades que espera el .in de ese modelo. Todos salen de recomendacion() en code/analisis_parametros.py (python3 code/analisis_parametros.py --tabla).

Parámetro	`lphi4` (control)	`lphi4U1`	`lphi4SU2U1`
Física
λ (`lambda`)	9e-14	9e-14	9e-14
Amplitud inicial del inflatón (GeV)	initial_amplitudes = 5.6964e18 0	cmplx_field_initial_norm = 4.02796e18	SU2Doublet_initial_norm = 4.02796e18
Velocidad inicial (GeV²)	initial_momenta = -4.86735e30 0	cmplx_momentum_initial_norm = -3.44174e30	SU2Doublet_initial_momenta_norm = -3.44174e30
Otros campos, homogéneos	hijo χ en 0	—	initial_amplitudes = 0, initial_momenta = 0, cmplx_field_initial_norm = 0, cmplx_momentum_initial_norm = 0
Hijo escalar	q = 120	no tiene	qG = 0, qH = 0
Acoplamiento U(1)	—	gU1s = 3.28634e-6 CSU1Charges = 1	gU1s = 2.32379e-6 SU2DoubletU1Charges = 1, CSU1Charges = 1
Acoplamiento SU(2)	—	—	gSU2s = 4.64758e-6 SU2DoubletSU2Charges = 1
q del canal resonante	120 (χ)	120 (q_A)	120 (q_A + q_B = 60 + 60)
Resonancia esperada	K_* ≈ 1.24, μ ≈ 0.175	la misma (ec. 475–476)	la misma, si vale q_ef
Red y tiempo (unidades de programa de cada modelo)
`N`	256	256	256
`kIR`	0.25	0.353553	0.353553
`kCutOff`	4	5.65685	5.65685
`dt`	0.01	0.00707107	0.00707107
`tMax`	300	212.132	212.132
`expansion`, `evolver`	true, VV2	true, VV2	true, VV2
`withGWs`	true	true	true
Derivados (no se escriben en el `.in`; sirven para comparar)
f_* (GeV)	5.6964e18	4.02796e18	4.02796e18
ω_* (GeV)	1.70892e12	1.20839e12	1.20839e12
Para comparar espectros, K =	k de programa	k de programa / √2	k de programa / √2

Si se prefiere el diseño del Art I en SU(2)×U(1) (q_A = q_B = 120): gU1s = 3.28634e-6 y gSU2s = 6.57267e-6. Las cargas se dejan en 1, porque sólo importa el producto g·Q. En lphi4SU2U1, el escalar complejo hijo queda con carga U(1) pero sin acoplamiento al inflatón: sólo tiene fluctuaciones de vacío.

9. Qué queda abierto

q_ef = q_A + q_B es una afirmación del Art I sin demostración en la bibliografía. La corrida piloto de SU(2)×U(1) la pone a prueba: ¿el pico de los campos gauge aparece en K ≈ 1.24 (vale) o en K ≈ 1.73 (no vale)?
El campo gauge como sustituto del escalar (Art I, ec. 475) vale durante la fase lineal. Es justamente después, en la fase no lineal, donde esperamos las diferencias.
Grados de libertad. Un campo U(1) tiene más componentes que un escalar, y un SU(2) todavía más. Con el mismo q, la energía puede pasar más rápido y el retroefecto llegar antes. No es un defecto de la comparación: es parte de la física que se quiere medir.
Validación contra Dufaux et al. Antes de las corridas gauge, el control con q = 120 debería dar un pico de GWs parecido al suyo. Hay que tener en cuenta que ellos usan λ = 10⁻¹⁴ y otro estado inicial: la frecuencia se corre en λ^1/4, pero la forma debería coincidir.

Parte del repositorio del proyecto final. Cálculos: code/analisis_parametros.py (python3 code/analisis_parametros.py para todo, --tabla para la tabla y --figura para el gráfico). Números y afirmaciones: provenance/. Páginas relacionadas: bitácora, bases teóricas, ¿Qué es CosmoLattice?.