Lente Gravitacional de Ondas Gravitacionales
en un Sistema Triple Jerárquico

Calculamos el efecto de lente que un tercer cuerpo del mismo sistema triple jerárquico ejerce, en óptica de ondas, sobre la onda gravitacional (GW) de una binaria compacta — el mismo triple en dos épocas de su inspiral: un chirp tardío (lente congelado) y una fase temprana cuasi-monocromática (el lente se mueve, y produce pulsos de lensing repetidos).

Esta presentación es la versión visual; report.pdf tiene el mismo contenido con más detalle en texto, y theory/theory.pdf la derivación completa. Todo viene de cases/, verificado en tests/ — nada acá está sin chequear.

La señal, con lente y sin lente

En frecuencia, lo que el lente hace es una multiplicación: h_L(f)=F(f)·h(f). En el tiempo eso no es un reescaleo — es la señal original más una copia suya, retrasada y más débil. Acá están las dos curvas sobre el mismo reloj que el esquema de la coalescencia, y la diferencia entre ellas es del orden del 5%: chica, pero no constante, porque F oscila con f mientras el chirp barre la banda.

Los dos picos llegan en el mismo instante. No es casualidad: F está referida a la llegada de la imagen fuerte, así que no queda ningún corrimiento global arbitrario y cualquier desfasaje que se vea entre las curvas es físico.

La segunda imagen llega tarde y débil

En óptica geométrica un lente puntual da dos imágenes, en $x_{\pm }=\frac{1}{2}(y\pm \sqrt{y^2+4})$: una es un mínimo del tiempo de llegada y la otra un punto de silla. La del silla recorre más camino, así que llega ΔT = 3.434 s más tarde, y está menos magnificada.

Eso es el eco: la misma forma de onda otra vez, con una amplitud de 0.2395 del pico sin lente — que es exactamente la magnificación $\sqrt{|\mathit{\mu ₋}|}$ = 0.2396 de esa imagen, al 0.05%. Un número que sale del cálculo en el dominio del tiempo y coincide con otro que sale de la óptica geométrica, sin nada ajustado en el medio. La segunda imagen entra en banda 11.7 s antes del merger, así que durante casi toda la señal las dos están presentes y se interfieren; el eco se ve separado recién después del merger, cuando la primera ya se apagó.

Dos imágenes interfieren: F recorre una circunferencia

El lente está quieto, pero f no, y F depende de f. Al barrer la banda, F da una vuelta completa por cada franja — 397 vueltas entre 10 Hz y el merger.

Que el recorrido sea una circunferencia es la suma de las dos imágenes: un vector fijo de largo $\sqrt{|\mathit{\mu ₊}|}$ = 1.0283, la imagen fuerte, más otro de largo $\sqrt{|\mathit{\mu ₋}|}$ = 0.2396 que gira con la fase w·ΔT. Como w·ΔT es lineal en f, el período de franja es 1/ΔT = 0.2912 Hz, el mismo en toda la banda.

Y como el círculo no encierra al origen, arg F nunca completa una vuelta: las dos tangentes desde el origen la dejan acotada en $|\arg F|\le \mathrm{arcsen}(\sqrt{|\mathit{\mu ₋}|}/\sqrt{|\mathit{\mu ₊}|})=0.235\text{ rad}$. Ahí está la asimetría del efecto. El lente mueve la amplitud entre 0.789 y 1.268 — ±0.24 alrededor de 1.028 — y la fase, apenas un cuarto de radián.

El patrón se aprieta mientras el chirp sube

La fuente está quieta en y_A=1.589; lo que cambia es la frecuencia, y con ella el espaciado de los anillos — 12.5× más finos entre el inicio de la banda y el merger. La fuente los cruza cada vez más rápido, y eso es la modulación que el lente le imprime a la amplitud: sobre el final pasan decenas de franjas por segundo, así que en la señal del merger ya no se alcanza a ver.

Lo que el lente le hace a la onda

Amplificación de la muestra pico: 1.0557. Amplificación RMS: 1.0557, que por Parseval es $\sqrt{A(y_A)}$. Coinciden: la amplitud sola no delata nada. Lo que hace que la forma de onda con lente sea una copia desfasada y no simplemente reescalada es arg F, que oscila a lo largo de la banda dentro de ±0.235 rad.

El pico con lente llega exactamente al mismo tiempo que el pico sin lente (F está referida a la llegada de la imagen fuerte, sin desfasaje absoluto arbitrario). Una segunda copia, ~4× más débil — la amplitud exacta coincide con la magnificación geométrica de la imagen débil, $\sqrt{|\mathit{\mu ₋}|}$, a menos del 1% — de todo el merger reaparece más tarde, exactamente en el retraso fijo que predice la óptica geométrica entre las dos imágenes. Ambas construidas sólo del pasado de la fuente: la causalidad nunca estuvo en duda. Un eco genuino, visible en caseA_spectrogram.png como una segunda traza en el plano tiempo-frecuencia.

La órbita recorriendo el patrón

El mismo reloj para todo: dónde está la fuente, dónde cae eso en el patrón, qué mide el detector, y el retardo de Roemer que la misma órbita escribe encima — la fuente se aleja y se acerca, y su luz tarda hasta 905 s más o menos en llegar. Acá se ven dos de las tres vueltas de la observación, para poder mirarlas con detalle; las figuras estáticas muestran los 12 días enteros.

Dónde está la fuente

Dónde cae en el patrón (w_B=0.31)

Las dos huellas de la órbita

La onda, a la amplificación del instante

cargando…

En media órbita no hay lente en absoluto

En exactamente la mitad de la órbita no hay lente: cuando la fuente está delante del lente y no detrás, no hay ninguna configuración de lente que resolver — no es una aproximación, es F=1 por construcción, y se ve en la diapositiva anterior como el marcador saliendo del patrón (cian/gris) durante la mitad "de adelante" de cada vuelta.

Esto es exactamente el origen de los pulsos periódicos: "lensing repetido", el análogo en óptica de ondas de lo que D'Orazio & Loeb (2020) encontraron en óptica geométrica.

La órbita hace dos cosas: pulsos de lente y fase cinemática

Todo lo anterior es lo que la órbita externa hace ópticamente. Pero la misma órbita también arrastra a la fuente a lo largo de la línea de visión, a β_los=0.0165, y el retardo de Roemer que eso produce es de 1810 s pico a pico: a f_B, unos 90.5 ciclos de GW de fase escritos sobre la forma de onda. La fase que escribe el lente mismo, arg F/2π, vale 0.017 ciclos. Un factor 5206×.

Retardo y corrimiento no son lo mismo, y no ocurren en la misma fase orbital. Son la misma cantidad separada por una derivada: el retardo va como la separación a lo largo de la línea de visión, el corrimiento como su velocidad. En la conjunción la velocidad radial se anula — la fuente está en ese instante lo más lejos que llega — así que ahí el retardo está en un extremo (+905 s de ±905) y el corrimiento pasa por cero (|v_los|/c = 1.3×10⁻⁶ contra un máximo orbital de 1.6×10⁻²). Los extremos del Doppler caen un cuarto de período antes y después, donde no hay lensing en absoluto. La cinemática domina la fase y deja casi intacta la envolvente; el lente produce el pulso de amplitud. Esa diferencia permite separar ambos efectos.

Y sin embargo no cambia ningún resultado de amplitud

No es un defecto del cálculo de lensing — es cómo se ve realmente un triple jerárquico, y es por eso que D'Orazio & Loeb (2020), el mismo trabajo que este caso sigue para el lensing repetido, modelan el Doppler junto con él (su Apéndice A).

El Doppler se aplica evaluando la forma de onda en el tiempo de emisión retardado, y por ser puro timing deja la envolvente intacta a 1.1×10⁻⁵: todos los resultados de amplitud quedan sin cambio, de manera demostrada.